Σε μια βαθιά κατσαρόλα σοτάρουμε το κρεμμύδι, το καρότο και το βούτυρο ΝΟΥΝΟΥ σε μέτρια φωτιά. Μετά από 5 λεπτά ρίχνουμε τη φάβα και τη σοτάρουμε για άλλα δύο λεπτά.

Έπειτα ρίχνουμε 1,5 ltr. νερό και σιγοβράζουμε σε μέτρια φωτιά μέχρι να μαλακώσει (εάν δούμε ότι δεν έχει μαλακώσει προσθέτουμε και το υπόλοιπο νερό).

Μαγειρεύουμε σε μέτρια ένταση μέχρι να καραμελώσουν και να πάρουν ωραίο χρώμα.

Μόλις ετοιμαστεί αποσύρουμε από τη φωτιά, ρίχνουμε αλάτι και πιπέρι και την πολτοποιούμε με το ραβδομπλέντερ ή στο multi.

Εκτέλεση για τα καραμελωμένα κρεμμύδια: Βάζουμε ένα βαθύ τηγάνι σε χαμηλή φωτιά, ρίχνουμε μέσα το βούτυρο ΝΟΥΝΟΥ και το αφήνουμε να λιώσει.

Μόλις λιώσει το βούτυρο ΝΟΥΝΟΥ, ρίχνουμε τα κρεμμύδια, το αλάτι, τη ζάχαρη και ανακατεύουμε. Σοτάρουμε τα κρεμμύδια μέχρι να καραμελώσουν και να πάρουν ένα σκούρο χρώμα ανακατεύοντας τα ανά τακτά χρονικά διαστήματα.

Όταν είναι έτοιμα, σβήνουμε με το βαλσάμικο και τα αφήνουμε στην άκρη να κρυώσουν για 2 λεπτά.

Τέλος, σερβίρουμε τη φάβα σε ένα πιάτο προσθέτοντας τα καραμελωμένα κρεμμύδια από πάνω της.